微分積分例

$f (x) = \frac{c^{8} - x^{8}}{c^{8} + x^{8}}$

ステップ 1

$f (c) = c^{8} - x^{8}$ および $g (c) = c^{8} + x^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ は $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(c^{8} + x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} - x^{8}] - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $c^{8} - x^{8}$ の $c$ に関する積分は $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]$ です。

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ は $n c^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.3

$- x^{8}$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $- x^{8}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + 0) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$8 c^{7}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7}) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$8$ を $c^{8} + x^{8}$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $c^{8} + x^{8}$ の $c$ に関する積分は $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}]$ です。

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ は $n c^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.7

$x^{8}$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $x^{8}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + 0)}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$8 c^{7}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7})}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(8 c^{8} + 8 x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} + (- 8 c^{8} - 8 (- x^{8})) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.1.1

$8 c^{8} c^{7}$ から $8 c^{8} c^{7}$ を引きます。

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 0 - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$8 x^{8} c^{7}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 x^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$8 x^{8} c^{7}$ と $8 x^{8} c^{7}$ をたし算します。

$\frac{16 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

微分積分 例

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