微分積分例

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

ステップ 1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 4.6

${(x + 2)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

ステップ 5.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

ステップ 5.3

$4 {(x + 2)}^{2}$ を $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$4 {(x + 2)}^{2}$ を $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ で因数分解します。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

ステップ 5.3.2

$4 {(x + 2)}^{2}$ を $- 4 {(x + 2)}^{3}$ で因数分解します。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

ステップ 5.3.3

$4 {(x + 2)}^{2}$ を $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ で因数分解します。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.4

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 5.5.1

分配則を当てはめます。

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.5.2

分配則を当てはめます。

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.5.3

分配則を当てはめます。

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.6.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.6.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.8

簡約します。

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ステップ 5.8.1

$4$ に $4$ をかけます。

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

ステップ 5.9

各項を簡約します。

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ステップ 5.9.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

ステップ 5.9.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

ステップ 5.10

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

ステップ 5.11

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ を展開します。

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12

各項を簡約します。

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ステップ 5.12.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.12.2.1

$x$ を移動させます。

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.12.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.3

$4$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.4

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.12.6.1

$x$ を移動させます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.7

$16$ に $- 4$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.8

$- 2$ に $16$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.9

$- 4$ に $16$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

ステップ 5.12.10

$16$ に $- 2$ をかけます。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

ステップ 5.13

$- 8 x^{2}$ から $64 x^{2}$ を引きます。

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

ステップ 5.14

$- 32 x$ から $64 x$ を引きます。

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$

微分積分 例

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