微分積分例

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

ステップ 1

$f (y) = y - 1$ および $g (y) = y^{2} - y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$y^{2} - y + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $y^{2} - y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$2 y - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y + 1) (2 y - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.4

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.5

$2 y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

$y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- y$ と $3 y$ をたし算します。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$y$ を $- y^{2} + 2 y$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$y$ を $y (- y) + y \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- (y - 2)$ を $- 1 (y - 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例