微分積分例

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{x} + 1}$ を ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{x} + 1$ とします。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{x} + 1$ で置き換えます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 8

和の法則を使って微分します。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 8.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 8.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

ステップ 8.2.3

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 8.3

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 10.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

ステップ 10.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

ステップ 10.2.2

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2.3

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x} \cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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