微分積分例

$f (x) = \sin (2 x) \cos (2 x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin (2 x)$ および $g (x) = \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 3

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 4

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 7

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 9

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 12

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 14

式を簡約します。

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ステップ 14.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \cdot 2$

ステップ 14.2

$2$ を $\cos^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$

微分積分 例

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