微分積分例

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

ステップ 3.6

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

${(x - 4)}^{2}$ を $x (3 {(x - 4)}^{2})$ で因数分解します。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

ステップ 4.1.2

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

ステップ 4.1.3

${(x - 4)}^{2}$ を ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

ステップ 4.2.2

$3 x$ と $x$ をたし算します。

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

ステップ 4.3

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

ステップ 4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 4.4.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 4.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 4.5.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 4.5.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 4.5.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 4.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ を展開します。

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.7.2.1

$x$ を移動させます。

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.3

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.7.5.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.6

$- 8$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.7

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.8

$4$ に $16$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

ステップ 4.7.9

$16$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 4.8

$- 4 x^{2}$ から $32 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

ステップ 4.9

$32 x$ と $64 x$ をたし算します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

微分積分 例

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