微分積分例

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $7 x - 2 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 1.2.3

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x \ln (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

共通因数を約分します。

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.6.2

式を書き換えます。

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 1.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

ステップ 1.4.2.2

$7$ から $2$ を引きます。

$5 - 2 \ln (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $5 - 2 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

ステップ 2.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \ln (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

ステップ 2.2.3

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

ステップ 2.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

ステップ 2.3

$0$ から $\frac{2}{x}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$5 - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $7 x - 2 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.2.3

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x \ln (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

ステップ 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.6.2

式を書き換えます。

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

ステップ 4.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

ステップ 4.1.4.2.2

$7$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 - 2 \ln (x)$ です。

$5 - 2 \ln (x)$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 - 2 \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 - 2 \ln (x) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 2 \ln (x) = - 5$

ステップ 5.3

$- 2 \ln (x) = - 5$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 2 \ln (x) = - 5$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

ステップ 5.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 5.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = \frac{5}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{5}{2}} = x$

ステップ 5.6

方程式を $x = e^{\frac{5}{2}}$ として書き換えます。

$x = e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8

$x = e^{\frac{5}{2}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e^{\frac{5}{2}}$ は極大値です

ステップ 10

$x = e^{\frac{5}{2}}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $e^{\frac{5}{2}}$ で置換えます。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{5}{2}$ を移動します。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

ステップ 10.2.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

ステップ 10.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.4.1

$2$ を $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

ステップ 10.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

ステップ 10.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

ステップ 10.2.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 10.2.2

$7 e^{\frac{5}{2}}$ から $5 e^{\frac{5}{2}}$ を引きます。

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $2 e^{\frac{5}{2}}$ です。

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

ステップ 11

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ の極値です。

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例