微分積分例

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.9

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.20.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.20.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.20.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.21

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.23

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.24

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.27

${(4 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.29

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 2 x^{2} + 4$ および $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $- 2 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.4.6

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = - x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.11

総和則では、 $- x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.15

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.16.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.16.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$2$ を $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.17.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.17.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.20

$- 2 x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.2

$- 2 x^{2} + 4$ に $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.3

$2$ を $- 2 x^{2} + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.3.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.3.3

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.4

$- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ と $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7

因数分解した形で $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.7.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.7.1.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.1.2

$2 x$ を $2 (- x^{2} + 2) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.1.3

$2 x$ を $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.7.2.1

指数を足して ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.7.2.1.1

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.7.2.2

$- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.8.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.8.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.8.4

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.1.8.5

$- 8$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.1

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

ステップ 2.21.2.2

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

ステップ 2.21.2.3

指数を足して ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.3.1

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.3.1.1

$- x^{2} + 4$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

ステップ 2.21.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.21.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.21.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.21.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.9

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.20.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.20.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.20.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.1.23

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.24

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.27

${(4 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.29

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 4$

ステップ 5.3.2

$- 2 x^{2} = - 4$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 2 x^{2} = - 4$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 2}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

$- 4$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{{(- x^{2} + 4)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$

ステップ 6.2

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{- x^{2} + 4} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- x^{2} + 4}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- x^{2} + 4}$ を ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- x^{2} + 4)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$- x^{2} + 4 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- x^{2} + 4 = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} = - 4$

ステップ 6.3.3.2

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$- x^{2} = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 6.3.3.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 6.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 6.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 6.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 6.4

$\sqrt{- x^{2} + 4}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x^{2} + 4 < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} < - 4$

ステップ 6.5.2

$- x^{2} < - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- x^{2} < - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 4$

ステップ 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

ステップ 6.5.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{4}$

ステップ 6.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > | 2 |$

ステップ 6.5.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | > 2$

ステップ 6.5.5

$| x | > 2$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > 2$

ステップ 6.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > 2$

ステップ 6.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 6.5.6

$x > 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > 2$

ステップ 6.5.7

$- x > 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$- x > 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{2}{- 1}$

ステップ 6.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x < - 2$

ステップ 6.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - 2$ または $x > 2$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - 2, 2$

ステップ 8

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 (\sqrt{2}) ({(\sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(\sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{2} (2 - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{2 \sqrt{2} \cdot - 4}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

ステップ 11.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 11.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 11.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 11.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

ステップ 11.2.2.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 1 \cdot 2)}$

ステップ 11.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

ステップ 11.2.3.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4}$

ステップ 11.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 11.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 2$

ステップ 11.2.5

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 12

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (1 {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.4.5

指数を求めます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.5

$2$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} \cdot - 4}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.3.6

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 15

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 15.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 15.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 15.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 15.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 15.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 15.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 15.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 15.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 15.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 15.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

ステップ 15.2.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

ステップ 15.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

ステップ 15.2.5.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2}$

ステップ 15.2.6

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.6.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 15.2.6.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

ステップ 15.2.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

ステップ 15.2.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 15.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 15.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 15.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 15.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 15.2.7.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

ステップ 15.2.7.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 2$

ステップ 15.2.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

ステップ 15.2.9

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 16

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- {(- 2)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{3}}$

ステップ 17.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

ステップ 17.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

ステップ 17.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 18

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例