微分積分例

$f (x) = x + \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$1 + \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

ステップ 2.3

$0$ から $\sin (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 + \cos (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 7

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 8

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 9

方程式 $x = π$ に対する解です。

$x = π, π$

ステップ 10

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \sin (π)$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \sin (0)$

ステップ 11.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 0$

ステップ 11.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 12

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 12.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

ステップ 12.2

一次導関数 $1 + \cos (x)$ の区間 $(- \infty, π)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 12.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

ステップ 12.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f' (0) = 1 + 1$

ステップ 12.2.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = 2$

ステップ 12.2.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 12.3

一次導関数 $1 + \cos (x)$ の区間 $(π, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 12.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

ステップ 12.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.3.2.1

$\cos (6)$ の値を求めます。

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

ステップ 12.3.2.2

$1$ と $0.96017028$ をたし算します。

$f' (6) = 1.96017028$

ステップ 12.3.2.3

最終的な答えは $1.96017028$ です。

$1.96017028$

ステップ 12.4

$x = π$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 12.5

$f (x) = x + \sin (x)$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例