微分積分例

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.1.2

$100 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $100 x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d y} [40 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$40$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $40 y$ の微分係数は $40 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.2.3

$40$ に $1$ をかけます。

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.3

$- 5 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 40 + 0 - 4 y$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$0$ と $40$ をたし算します。

$40 + 0 - 4 y$

ステップ 1.5.1.2

$40$ と $0$ をたし算します。

$40 - 4 y$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$- 4 y + 40$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 y + 40$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ です。

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [- 4 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 4 y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

ステップ 2.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$40$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $40$ の微分係数は $0$ です。

$u'' (y) = - 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$u'' (y) = - 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 y + 40 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$100 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $100 x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d y} [40 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$40$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $40 y$ の微分係数は $40 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$40$ に $1$ をかけます。

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.3

$- 5 x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5 x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 40 + 0 - 4 y$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

$0$ と $40$ をたし算します。

$40 + 0 - 4 y$

ステップ 4.1.5.1.2

$40$ と $0$ をたし算します。

$40 - 4 y$

ステップ 4.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (y) = - 4 y + 40$

ステップ 4.2

$y$ に関する $u (y)$ の一次導関数は $- 4 y + 40$ です。

$- 4 y + 40$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 y + 40 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 y + 40 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $40$ を引きます。

$- 4 y = - 40$

ステップ 5.3

$- 4 y = - 40$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 4 y = - 40$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 40}{- 4}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 40$ を $- 4$ で割ります。

$y = 10$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$y = 10$

ステップ 8

$y = 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4$

ステップ 9

$y = 10$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$y = 10$ は極大値です

ステップ 10

$y = 10$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $y$ を $10$ で置換えます。

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$40$ に $10$ をかけます。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

ステップ 10.2.1.2

$10$ を $2$ 乗します。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

ステップ 10.2.1.3

$- 2$ に $100$ をかけます。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

ステップ 10.2.2

$400$ から $200$ を引きます。

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $100 x - 5 x^{2} + 200$ です。

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

ステップ 11

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ の極値です。

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例