微分積分例

$y = x^{4} - 3 x^{2}$

ステップ 1

$y = x^{4} - 3 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 (2 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{3} - 6 x$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{3} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 6 x = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

ステップ 5.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 6 x$ です。

$4 x^{3} - 6 x$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 6 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 6 x = 0$

ステップ 6.2

$2 x$ を $4 x^{3} - 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

ステップ 6.2.2

$2 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

ステップ 6.2.3

$2 x$ を $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ で因数分解します。

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5

$2 x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$2 x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x^{2} = 3$

ステップ 6.5.2.2

$2 x^{2} = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$2 x^{2} = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 6.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{3}{2}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.5.2.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.5.2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.5.2.4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 6.5.2.4.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 6.5.2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.5.2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 6.5.2.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.5.2.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

ステップ 6.5.2.4.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 6.6

最終解は $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 6$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 6$

ステップ 10.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 6$

ステップ 10.2

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

ステップ 12.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

ステップ 12.2.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 12.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2.4.2

式を書き換えます。

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.2.5

指数を求めます。

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

ステップ 14.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

ステップ 14.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

ステップ 14.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

ステップ 14.1.4.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 6 - 6$

ステップ 14.1.5

$3$ に $6$ をかけます。

$18 - 6$

ステップ 14.2

$18$ から $6$ を引きます。

$12$

ステップ 15

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.2.1

${\sqrt{6}}^{4}$ を $6^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.4

$36$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.4.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 16.2.1.5

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

ステップ 16.2.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4})$

ステップ 16.2.1.8

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.8.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4}$

ステップ 16.2.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.1.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

ステップ 16.2.1.9

$- 3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.9.1

$- 3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

ステップ 16.2.1.9.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 16.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

ステップ 16.2.2

$- \frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 16.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 16.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 16.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

ステップ 16.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.5.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

ステップ 16.2.5.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9}{4}$

ステップ 16.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{9}{4}$

ステップ 16.2.7

最終的な答えは $- \frac{9}{4}$ です。

$y = - \frac{9}{4}$

ステップ 17

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

ステップ 18

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) - 6$

ステップ 18.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

ステップ 18.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

ステップ 18.1.3

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4.4.2

式を書き換えます。

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.4.5

指数を求めます。

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

ステップ 18.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

ステップ 18.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

ステップ 18.1.6.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

ステップ 18.1.6.3

式を書き換えます。

$3 \cdot 6 - 6$

ステップ 18.1.7

$3$ に $6$ をかけます。

$18 - 6$

ステップ 18.2

$18$ から $6$ を引きます。

$12$

ステップ 19

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ は極小値です

ステップ 20

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.3

$\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.4.1

${\sqrt{6}}^{4}$ を $6^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.4.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.4.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.4.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.6

$36$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.6.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.6.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}$

ステップ 20.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2})$

ステップ 20.2.1.7.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 20.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 20.2.1.9

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10

${\sqrt{6}}^{2}$ を $6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6}$ を $6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.10.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}}$

ステップ 20.2.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4})$

ステップ 20.2.1.12

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.12.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4}$

ステップ 20.2.1.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.12.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.1.12.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.1.12.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

ステップ 20.2.1.13

$- 3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1.13.1

$- 3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

ステップ 20.2.1.13.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 20.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

ステップ 20.2.2

$- \frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 20.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.3.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

ステップ 20.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.5.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

ステップ 20.2.5.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9}{4}$

ステップ 20.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{9}{4}$

ステップ 20.2.7

最終的な答えは $- \frac{9}{4}$ です。

$y = - \frac{9}{4}$

ステップ 21

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(\frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{9}{4})$ は極小値です

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{9}{4})$ は極小値です

ステップ 22

微分積分 例

微分積分例