微分積分例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 4 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 2 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 4 x + 1$ です。

$3 x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

ステップ 5.2

群による因数分解。

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ステップ 5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ を $- 1$ プラス $- 3$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

ステップ 5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

ステップ 5.2.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 5.4.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 5.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.6

最終解は $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 8

$x = \frac{1}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{1}{3}) - 4$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{1}{3} - 4$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} - 4$

ステップ 9.1.3

式を書き換えます。

$2 - 4$

ステップ 9.2

$2$ から $4$ を引きます。

$- 2$

ステップ 10

$x = \frac{1}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{1}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{1}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

括弧を削除します。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.4

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 2 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.7

$- 2$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 2}{9} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.3

公分母を求めます。

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ステップ 11.2.3.1

$\frac{2}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.3.2

$\frac{2}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

ステップ 11.2.3.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.2.3.4

$\frac{1}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.3.5

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.3.6

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.3.7

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{2 \cdot 3}{27} + \frac{9}{27}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{27}$

ステップ 11.2.5

式を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{27}$

ステップ 11.2.5.2

$1$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 9}{27}$

ステップ 11.2.5.3

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{4}{27}$ です。

$y = \frac{4}{27}$

ステップ 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (1) - 4$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 4$

ステップ 13.2

$6$ から $4$ を引きます。

$2$

ステップ 14

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

括弧を削除します。

$f (1) = {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 15.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

ステップ 15.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 15.2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 2 + 1$

ステップ 15.2.3

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f (1) = - 1 + 1$

ステップ 15.2.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 0$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ の極値です。

$(\frac{1}{3}, \frac{4}{27})$ は極大値です

$(1, 0)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例