微分積分例

$f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{2}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} [64 x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 16$ をかけます。

$3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} [64 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [64 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 x$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$64$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 32 x + 64$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 32 x + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 32 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 x$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.3.3

$- 32$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 32 + \frac{d}{d x} (64)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 32 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 32$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 32$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{2}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64 x)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} (64 x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} (64 x)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [64 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $64 x$ の微分係数は $64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$64$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 32 x + 64$ です。

$3 x^{2} - 32 x + 64$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

ステップ 5.2

群による因数分解。

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ステップ 5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 64 = 192$ で和が $b = - 32$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 32$ を $- 32 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 32$ を $- 8$ プラス $- 24$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 8 - 24) x + 64 = 0$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 8 x - 24 x + 64 = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 8 x) - 24 x + 64 = 0$

ステップ 5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 8) - 8 (3 x - 8) = 0$

ステップ 5.2.3

最大公約数 $3 x - 8$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 8) (x - 8) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 5.4

$3 x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$3 x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 8 = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $3 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$3 x = 8$

ステップ 5.4.2.2

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{3}$

ステップ 5.5

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 5.6

最終解は $(3 x - 8) (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{8}{3}, 8$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{8}{3}, 8$

ステップ 8

$x = \frac{8}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\frac{8}{3}) - 32$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{8}{3} - 32$

ステップ 9.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 32$

ステップ 9.1.1.3

式を書き換えます。

$2 \cdot 8 - 32$

ステップ 9.1.2

$2$ に $8$ をかけます。

$16 - 32$

ステップ 9.2

$16$ から $32$ を引きます。

$- 16$

ステップ 10

$x = \frac{8}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{8}{3}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \frac{8}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{8}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.2

$8$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.4

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{8^{2}}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.5

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{64}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 (\frac{64}{9}) + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.7

$- 16 (\frac{64}{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.1

$- 16$ と $\frac{64}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 16 \cdot 64}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.7.2

$- 16$ に $64$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

ステップ 11.2.1.9

$64 (\frac{8}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.9.1

$64$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{64 \cdot 8}{3}$

ステップ 11.2.1.9.2

$64$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{512}{3}$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$\frac{1024}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{1024}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{512}{3}$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{1024}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3}$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{512}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 11.2.2.4

$\frac{512}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.5

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.6

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

ステップ 11.2.2.7

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{27}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1024 \cdot 3 + 512 \cdot 9}{27}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.4.1

$- 1024$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 512 \cdot 9}{27}$

ステップ 11.2.4.2

$512$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 4608}{27}$

ステップ 11.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$512$ から $3072$ を引きます。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 2560 + 4608}{27}$

ステップ 11.2.5.2

$- 2560$ と $4608$ をたし算します。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{2048}{27}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $\frac{2048}{27}$ です。

$y = \frac{2048}{27}$

ステップ 12

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (8) - 32$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $8$ をかけます。

$48 - 32$

ステップ 13.2

$48$ から $32$ を引きます。

$16$

ステップ 14

$x = 8$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極小値です

ステップ 15

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = {(8)}^{3} - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$f (8) = 512 - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

ステップ 15.2.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$f (8) = 512 - 16 \cdot 64 + 64 (8)$

ステップ 15.2.1.3

$- 16$ に $64$ をかけます。

$f (8) = 512 - 1024 + 64 (8)$

ステップ 15.2.1.4

$64$ に $8$ をかけます。

$f (8) = 512 - 1024 + 512$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$512$ から $1024$ を引きます。

$f (8) = - 512 + 512$

ステップ 15.2.2.2

$- 512$ と $512$ をたし算します。

$f (8) = 0$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 16

$f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ の極値です。

$(\frac{8}{3}, \frac{2048}{27})$ は極大値です

$(8, 0)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例