微分積分例

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [27 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $27 x$ の微分係数は $27 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$27$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 18 x + 27$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 18 x + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.3.3

$- 18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 18$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [27 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $27 x$ の微分係数は $27 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$27$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 18 x + 27$ です。

$3 x^{2} - 18 x + 27$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 18 x + 27$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 5.2.2.3

多項式を書き換えます。

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

${(x - 3)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.4

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.5

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (3) - 18$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$6$ に $3$ をかけます。

$18 - 18$

ステップ 9.2

$18$ から $18$ を引きます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $3 x^{2} - 18 x + 27$ の区間 $(- \infty, 3)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

ステップ 10.2.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 18$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

ステップ 10.2.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 27$

ステップ 10.2.2.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$f' (0) = 27$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $27$ です。

$27$

ステップ 10.3

一次導関数 $3 x^{2} - 18 x + 27$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

ステップ 10.3.2.1.2

$3$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 18$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 10.3.2.2.1

$108$ から $108$ を引きます。

$f' (6) = 0 + 27$

ステップ 10.3.2.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$f' (6) = 27$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $27$ です。

$27$

ステップ 10.4

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例