微分積分例

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.5

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

項を並べ替えます。

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.6.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.6.2.4

$\ln (x)$ と $\frac{4}{x^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.6.2.5

$4$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.5

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.6.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.8

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.8.2

$5$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.9

$x^{4}$ を $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$1$ を掛けます。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.9.2

$x^{4}$ を $- 5 \ln (x) x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.9.3

$x^{4}$ を $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.10.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.10.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.11

$- 4$ と $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{5}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

ステップ 2.3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 2.3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

ステップ 2.3.4

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

ステップ 2.3.4.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

ステップ 2.3.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

ステップ 2.3.6

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$x^{4}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

ステップ 2.3.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

ステップ 2.3.6.3

$4$ から $10$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3.2

$- 5$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3.3

$- 5$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

ステップ 2.4.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

ステップ 2.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$- 1$ を $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

ステップ 2.4.5.1.2

$- 1$ を $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

ステップ 2.4.5.1.3

$- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ を $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

ステップ 2.4.5.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

ステップ 2.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 4.1.5

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

項を並べ替えます。

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.1.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.1.6.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.1.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.1.6.2.4

$\ln (x)$ と $\frac{4}{x^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.1.6.2.5

$4$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ です。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{5}}$ を引きます。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 5.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$- 4 \ln (x) = - 1$

ステップ 5.4

$- 4 \ln (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- 4 \ln (x) = - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 5.4.2.1.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

ステップ 5.5

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.6

対数の定義を利用して $\ln (x) = \frac{1}{4}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{4}} = x$

ステップ 5.7

方程式を $x = e^{\frac{1}{4}}$ として書き換えます。

$x = e^{\frac{1}{4}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{5} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 6.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 6.3

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 6.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = e^{\frac{1}{4}}$

ステップ 8

$x = e^{\frac{1}{4}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{1}{4}$ を移動します。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.3

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.4.1

$4$ を $- 20$ で因数分解します。

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.1.5

$9$ から $5$ を引きます。

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

ステップ 9.2

${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

ステップ 9.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

ステップ 9.2.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

ステップ 9.2.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

ステップ 9.2.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

ステップ 9.2.3

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e^{\frac{1}{4}}$ は極大値です

ステップ 11

$x = e^{\frac{1}{4}}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $e^{\frac{1}{4}}$ で置換えます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2.3

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{1}{4}$ を移動します。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

ステップ 11.2.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 11.2.5

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 11.2.6

$\frac{1}{e}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

ステップ 11.2.7

$4$ を $e$ の左に移動させます。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

ステップ 11.2.8

最終的な答えは $\frac{1}{4 e}$ です。

$y = \frac{1}{4 e}$

ステップ 12

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ の極値です。

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例