微分積分例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $4 x^{3} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 8 x$ です。

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 8 x = 0$

$4 x$ を $4 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

$4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

最終解は $4 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 - 8$

$12$ に $0$ をかけます。

$0 - 8$

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

Step 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

Step 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

Step 12

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

式を書き換えます。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

指数を求めます。

$12 \cdot 2 - 8$

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - 8$

$24$ から $8$ を引きます。

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極小値です

Step 15

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

$4$ から $8$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 4$

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

Step 16

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

式を書き換えます。

$12 \cdot 2^{1} - 8$

指数を求めます。

$12 \cdot 2 - 8$

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - 8$

$24$ から $8$ を引きます。

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極小値です

Step 19

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

$4$ から $8$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

Step 20

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(\sqrt{2}, - 4)$ は極小値です

$(- \sqrt{2}, - 4)$ は極小値です

Step 21

微分積分 例

微分積分例