微分積分例

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $5 x^{3} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$15 x^{2} - 15 x^{4}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $5 x^{3} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 4.1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 15 x^{4} + 15 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ です。

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 15 u^{2} + 15 u = 0$

ステップ 5.2.3

$15 u$ を $- 15 u^{2} + 15 u$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.3.1

$15 u$ を $- 15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 15 u = 0$

ステップ 5.2.3.2

$15 u$ を $15 u$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 15 u (1) = 0$

ステップ 5.2.3.3

$15 u$ を $15 u (- u) + 15 u (1)$ で因数分解します。

$15 u (- u + 1) = 0$

ステップ 5.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 1 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$- x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$- x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $- x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 5.5.2.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.5.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 5.6

最終解は $15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 1, - 1$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 60 {(0)}^{3} + 30 (0)$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 60 \cdot 0 + 30 (0)$

ステップ 9.1.2

$- 60$ に $0$ をかけます。

$0 + 30 (0)$

ステップ 9.1.3

$30$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - 15 {(- 4)}^{4} + 15 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f' (- 4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 15$ に $256$ をかけます。

$f' (- 4) = - 3840 + 15 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

ステップ 10.2.2.1.4

$15$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = - 3840 + 240$

ステップ 10.2.2.2

$- 3840$ と $240$ をたし算します。

$f' (- 4) = - 3600$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 3600$ です。

$- 3600$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ の区間 $(- 1, 0)$ から $- 0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = - 15 {(- 0.5)}^{4} + 15 {(- 0.5)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$- 0.5$ を $4$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$- 15$ に $0.0625$ をかけます。

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

ステップ 10.3.2.1.4

$15$ に $0.25$ をかけます。

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 3.75$

ステップ 10.3.2.2

$- 0.9375$ と $3.75$ をたし算します。

$f' (- 0.5) = 2.8125$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $2.8125$ です。

$2.8125$

ステップ 10.4

一次導関数 $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ の区間 $(0, 1)$ から $0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f' (0.5) = - 15 {(0.5)}^{4} + 15 {(0.5)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$0.5$ を $4$ 乗します。

$f' (0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(0.5)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$- 15$ に $0.0625$ をかけます。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 {(0.5)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$0.5$ を $2$ 乗します。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

ステップ 10.4.2.1.4

$15$ に $0.25$ をかけます。

$f' (0.5) = - 0.9375 + 3.75$

ステップ 10.4.2.2

$- 0.9375$ と $3.75$ をたし算します。

$f' (0.5) = 2.8125$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $2.8125$ です。

$2.8125$

ステップ 10.5

一次導関数 $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - 15 {(4)}^{4} + 15 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.2

$- 15$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = - 3840 + 15 {(4)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

ステップ 10.5.2.1.4

$15$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = - 3840 + 240$

ステップ 10.5.2.2

$- 3840$ と $240$ をたし算します。

$f' (4) = - 3600$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $- 3600$ です。

$- 3600$

ステップ 10.6

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 1$ は極小値です。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 10.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.8

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 1$ は極大値です。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 10.9

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ の極値です。

$x = - 1$ は極小値です

$x = 1$ は極大値です

$x = - 1$ は極小値です

$x = 1$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例