微分積分例

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 1.3.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 1.3.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.3.9

$- 36$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.3.11

$3$ を $- 36$ で因数分解します。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.3.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.12.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 1.3.12.2

共通因数を約分します。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.3.12.3

式を書き換えます。

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.1.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ とします。

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.2.4

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 2.2.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

ステップ 2.2.9.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

ステップ 2.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

ステップ 2.2.11

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13

指数を足して $x^{- \frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

ステップ 2.2.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.4

$- 4$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.13.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

ステップ 2.2.15

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

ステップ 2.2.16

$12$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.17

$12$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.18

$3$ を $24$ で因数分解します。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.19

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.19.1

$3$ を $3 x^{\frac{5}{3}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

ステップ 2.2.19.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.19.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 4.1.3.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 4.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 4.1.3.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 4.1.3.9

$- 36$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 4.1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.3.11

$3$ を $- 36$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.3.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.12.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 4.1.3.12.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.3.12.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.1.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ の各項に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ の各項に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ として書き換えます。

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

ステップ 5.5.2

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 5.5.2.2.2

$x^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

$- 12$ を $- 3$ で割ります。

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

ステップ 5.5.3

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

$\pm 4^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.5.4.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 5.5.4.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 5.5.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x = \pm 2^{3}$

ステップ 5.5.4.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$x = \pm 8$

ステップ 5.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 5.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 5.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 0^{3}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.3.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.3.3.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 8, - 8, 0$

ステップ 8

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $8^{1}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

ステップ 9.2

指数を足して ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ に $8^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 9.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

ステップ 9.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

ステップ 9.2.5.2

$5$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 9.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 9.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 9.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

ステップ 9.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{2}}$

ステップ 9.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4}$

ステップ 10

$x = 8$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極小値です

ステップ 11

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$3$ に $8$ をかけます。

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 11.2.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 11.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.5

指数を求めます。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.6

$- 36$ に $2$ をかけます。

$f (8) = 24 - 72$

ステップ 11.2.2

$24$ から $72$ を引きます。

$f (8) = - 48$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 48$ です。

$y = - 48$

ステップ 12

$x = - 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 13.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 13.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 13.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

ステップ 13.1.4

$- 2$ を $5$ 乗します。

$\frac{8}{- 32}$

ステップ 13.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$8$ と $- 32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 (1)}{- 32}$

ステップ 13.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

$8$ を $- 32$ で因数分解します。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

ステップ 13.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

ステップ 13.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 4}$

ステップ 13.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 14

$x = - 8$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 8$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 15.2.1.2

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 15.2.1.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 15.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 15.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

ステップ 15.2.1.5

指数を求めます。

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

ステップ 15.2.1.6

$- 36$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 8) = - 24 + 72$

ステップ 15.2.2

$- 24$ と $72$ をたし算します。

$f (- 8) = 48$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$y = 48$

ステップ 16

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 17.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 17.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 17.2.2

式を書き換えます。

$\frac{8}{0^{5}}$

ステップ 17.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{8}{0}$

ステップ 17.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 18

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

ステップ 18.2

一次導関数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- \infty, - 8)$ から $- 10$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

式の変数 $x$ を $- 10$ で置換えます。

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.2.2

最終的な答えは $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.3

一次導関数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- 8, 0)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.3.2

最終的な答えは $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.4

一次導関数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(0, 8)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.4.2.1

括弧を削除します。

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.4.2.2

最終的な答えは $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ です。

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.5

一次導関数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(8, \infty)$ から $10$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.5.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.5.2.1

括弧を削除します。

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.5.2.2

最終的な答えは $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ です。

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 18.6

$x = - 8$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 8$ は極大値です。

$x = - 8$ は極大値です

ステップ 18.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 18.8

$x = 8$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 8$ は極小値です。

$x = 8$ は極小値です

ステップ 18.9

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ の極値です。

$x = - 8$ は極大値です

$x = 8$ は極小値です

$x = - 8$ は極大値です

$x = 8$ は極小値です

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例