微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $15 x^{4} - 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 x^{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{4} - 20 x^{3}$ です。

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

ステップ 5.2

$5 x^{3}$ を $15 x^{4} - 20 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$5 x^{3}$ を $15 x^{4}$ で因数分解します。

$5 x^{3} (3 x) - 20 x^{3} = 0$

ステップ 5.2.2

$5 x^{3}$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4) = 0$

ステップ 5.2.3

$5 x^{3}$ を $5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4)$ で因数分解します。

$5 x^{3} (3 x - 4) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$3 x - 4 = 0$

ステップ 5.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 5.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 5.5

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 5.5.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 5.6

最終解は $5 x^{3} (3 x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{4}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, \frac{4}{3}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$60 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$60 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.2

$60$ に $0$ をかけます。

$0 - 60 {(0)}^{2}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 60 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$- 60$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $15 x^{4} - 20 x^{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$15$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = 240 - 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 240 - 20 \cdot - 8$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 20$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = 240 + 160$

ステップ 10.2.2.2

$240$ と $160$ をたし算します。

$f' (- 2) = 400$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $400$ です。

$400$

ステップ 10.3

一次導関数 $15 x^{4} - 20 x^{3}$ の区間 $(0, \frac{4}{3})$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 20 {(1)}^{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 15 - 20 \cdot 1$

ステップ 10.3.2.1.4

$- 20$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 15 - 20$

ステップ 10.3.2.2

$15$ から $20$ を引きます。

$f' (1) = - 5$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 10.4

一次導関数 $15 x^{4} - 20 x^{3}$ の区間 $(\frac{4}{3}, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 20 {(4)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$15$ に $256$ をかけます。

$f' (4) = 3840 - 20 {(4)}^{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$f' (4) = 3840 - 20 \cdot 64$

ステップ 10.4.2.1.4

$- 20$ に $64$ をかけます。

$f' (4) = 3840 - 1280$

ステップ 10.4.2.2

$3840$ から $1280$ を引きます。

$f' (4) = 2560$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $2560$ です。

$2560$

ステップ 10.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 10.6

$x = \frac{4}{3}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = \frac{4}{3}$ は極小値です。

$x = \frac{4}{3}$ は極小値です

ステップ 10.7

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$ の極値です。

$x = 0$ は極大値です

$x = \frac{4}{3}$ は極小値です

$x = 0$ は極大値です

$x = \frac{4}{3}$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例