微分積分例

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - 2 x - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 2 \cdot - 2 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 + 4 - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.3

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 3 x + 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 3 lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 + 3 \cdot - 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 6 + 2}$

ステップ 1.1.3.6.2

$4$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{- 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.6.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} + 3 x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.5

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} + 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.9

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.9.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.9.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.10

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3 + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 2}{2 x + 3}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x - 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

ステップ 2.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + 3}$

ステップ 2.5

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 3}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3}$

ステップ 2.7

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + 3}$

ステップ 3

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot - 2 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to - 2} x + 3}$

ステップ 3.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 4 - 1 \cdot 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 4 - 2}{2 \cdot - 2 + 3}$

ステップ 4.1.3

$- 4$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 6}{2 \cdot - 2 + 3}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 6}{- 4 + 3}$

ステップ 4.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 6}{- 1}$

ステップ 4.3

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$6$

微分積分 例

微分積分例