微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{9 x^{2} + 1}}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.2.2

$9$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.3

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

ステップ 6.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$9$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 6.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 6.2.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

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