微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 25}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 7 x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 7 x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 7 x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.3

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 7 \cdot 5 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 7 \cdot 5 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 7$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 - 35 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.6.2

$25$ から $35$ を引きます。

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 10$ と $10$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5^{2} - 1 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{0}{25 - 25}$

ステップ 1.1.3.3.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 25} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 7 x + 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.5

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 7$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}$

ステップ 1.3.9

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{x}$

ステップ 2.2

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 7}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 2.3

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 7}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 7}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 2.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 5} x}$

ステップ 3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 7}{5}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 - 1 \cdot 7}{5}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 - 7}{5}$

ステップ 4.1.3

$10$ から $7$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 5}$

ステップ 4.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{3}{10}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{10}$

10進法形式：

$0.3$

微分積分 例

微分積分例