微分積分例

lim x \to \infty \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

lim x \to \infty \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

lim x \to \infty \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

x^{2}

$x^{2}$ から

x^{2}

$x^{2}$ を引きます。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

ステップ 2.2.2

2 x + 1

$2 x + 1$ と

0

$0$ をたし算します。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1.1.1

1

$1$ を

1^{2}

$1^{2}$ に書き換えます。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

ステップ 3.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

2 x = 2 \cdot x \cdot 1

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.1.1.3

多項式を書き換えます。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

ステップ 3.1.1.4

a = x

$a = x$ と

b = 1

$b = 1$ ならば、完全平方3項式

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

ステップ 3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

x

$x$ と

x

$x$ をたし算します。

lim x \to \infty \frac{2 x + 1}{2 x + 1}

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

ステップ 3.2.2

2 x + 1

$2 x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} 1$

ステップ 4

$x$ が

$\infty$ に近づくと定数である

$1$ の極限値を求めます。

$1$

微分積分 例

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