微分積分例

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ を $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{2}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2.4

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2.5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

ステップ 2.6

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

ステップ 2.7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

ステップ 2.8

指数に極限を移動させます。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

ステップ 2.9

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (e^{8} + 1)$ をまとめます。

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

10進法形式：

$7.38967570 \dots$

微分積分 例

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