微分積分例

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + x)}^{\cot (x)}$ を $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

ステップ 1.2

$\cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\cot (x) \ln (1 + x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\cot (x) \ln (1 + x)$ の極限は $1$ です。

$1$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\cot (x) \ln (1 + x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $1$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\cot (x) \ln (1 + x)$ の極限は $1$ です。

$e^{1}$

ステップ 9

簡約します。

$e$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

微分積分例