微分積分例

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 10$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2} y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} y')$

ステップ 2.4.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

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ステップ 2.5.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.5.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 6 x y y' + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.5.4

項を並べ替えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $3 y^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2}$

ステップ 5.1.3

方程式の両辺に $6 x y$ を足します。

$- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2

$3 y'$ を $- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 y'$ を $- 3 x^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2}) + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.2

$3 y'$ を $6 x y y'$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.3

$3 y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.4

$3 y'$ を $3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y)$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.2.5

$3 y'$ を $3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2})$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3

因数分解。

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ステップ 5.3.1

群による因数分解。

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ステップ 5.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1.1

項を並べ替えます。

$3 y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.2

$- y^{2}$ と $2 x y$ を並べ替えます。

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.3

$2$ を $2 x y$ で因数分解します。

$3 y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.4

$2$ を $1$ プラス $1$ に書き換える

$3 y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.5

分配則を当てはめます。

$3 y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.6

$x y$ に $1$ をかけます。

$3 y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.1.7

$x y$ に $1$ をかけます。

$3 y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.3.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$3 y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$3 y' (x (- x + y) - y (- x + y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.1.3

最大公約数 $- x + y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$3 y' ((- x + y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.3.2

不要な括弧を削除します。

$3 y' (- x + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4

指数をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$3 y' (- (x) + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.2

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$3 y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$3 y' (- (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.4

$- (x - y)$ を $- 1 (x - y)$ に書き換えます。

$3 y' (- 1 (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.5

括弧を削除します。

$3 y' \cdot (- 1 (x - y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.6

$x - y$ を $1$ 乗します。

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.7

$x - y$ を $1$ 乗します。

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{1 + 1}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.4.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

ステップ 5.5

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ の各項を $- 3 {(x - y)}^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ の各項を $- 3 {(x - y)}^{2}$ で割ります。

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.2.2

${(x - y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.2

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.3

$6$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.3.1

$3$ を $6 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.3.2.1

$3$ を $- 3 {(x - y)}^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

ステップ 5.5.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{2 x y}{- {(x - y)}^{2}}$

ステップ 5.5.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例