微分積分例

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

ステップ 1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{- t} + e^{t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{- t} + e^{t}$ で置き換えます。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{- t} + e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- t$ とします。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 4.3.3

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ を $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ に書き換えます。

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ を展開します。

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ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.1.2

$- t$ から $t$ を引きます。

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.2

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.2.2

$- t$ と $t$ をたし算します。

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.3

$e^{0}$ を簡約します。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.4

指数を足して $e^{t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.4.2

$t$ から $t$ を引きます。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.5

$e^{0}$ を簡約します。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.6

指数を足して $e^{t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.1.6.2

$t$ と $t$ をたし算します。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.5

$3$ に $2$ をかけます。

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

ステップ 6.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ を展開します。

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7

各項を簡約します。

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ステップ 6.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.2

指数を足して $e^{- 2 t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.2.3

$- t$ から $2 t$ を引きます。

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.4

指数を足して $e^{- 2 t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.4.1

$e^{t}$ を移動させます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.4.3

$t$ から $2 t$ を引きます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.7

指数を足して $e^{2 t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.7.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.7.3

$- t$ と $2 t$ をたし算します。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

ステップ 6.7.9

指数を足して $e^{2 t}$ に $e^{t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.9.1

$e^{t}$ を移動させます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

ステップ 6.7.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

ステップ 6.7.9.3

$t$ と $2 t$ をたし算します。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

ステップ 6.8

$3 e^{- t}$ から $6 e^{- t}$ を引きます。

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

ステップ 6.9

$6 e^{t}$ から $3 e^{t}$ を引きます。

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

微分積分 例

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