微分積分例

$\sum_{i = 1}^{8} 2^{i}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

ステップ 2.2

$2^{i + 1}$ と $2^{i}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$2^{i}$ を $2^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{2}{1}$

ステップ 2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$r = 2$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $2^{i}$ に代入します。

$a = 2^{1}$

ステップ 3.2

指数を求めます。

$a = 2$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$2 \frac{1 - 2^{8}}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $8$ 乗します。

$2 \frac{1 - 1 \cdot 256}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.1.2

$- 1$ に $256$ をかけます。

$2 \frac{1 - 256}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.1.3

$1$ から $256$ を引きます。

$2 \frac{- 255}{1 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{- 255}{1 - 2}$

ステップ 5.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{- 255}{- 1})$

ステップ 5.3

$- 255$ を $- 1$ で割ります。

$2 \cdot 255$

ステップ 5.4

$2$ に $255$ をかけます。

$510$

微分積分 例

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