微分積分例

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 1.2

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7 lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 1.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{7 \cdot 25 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.1.2

$7$ に $25$ をかけます。

$\frac{175 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{175 - 1}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.1.4

$175$ から $1$ を引きます。

$\frac{174}{x^{2} - 25}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{174}{x^{2} - 5^{2}}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{174}{(x + 5) (x - 5)}$

微分積分 例