微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

ステップ 5.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 5.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

ステップ 6

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{1}$

ステップ 7

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例