微分積分例

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を掛けます。

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

ステップ 1.2

$\sin^{3} (x)$ を $\sin^{4} (x)$ で因数分解します。

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

ステップ 1.3

分数を分解します。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

ステップ 1.4

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ を $\cot^{3} (x)$ に変換します。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

ステップ 1.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

ステップ 2

$\cot^{3} (x)$ を $\cot (x) \cot^{2} (x)$ で書きます。

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

ステップ 3

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (x)$ を $- 1 + \csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

ステップ 4

$u = \csc (x)$ とします。次に $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ すると、 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \csc (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\csc (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- \csc (x) \cot (x)$

ステップ 4.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

ステップ 5

$- (- 1 + u^{2})$ を掛けます。

$\int - - 1 - u^{2} d u$

ステップ 6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 - u^{2} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d u + \int - u^{2} d u$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$u + C + \int - u^{2} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$u + C - \int u^{2} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 11

簡約します。

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$

微分積分 例

微分積分例