微分積分例

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

ステップ 1

${(x^{2} + 5)}^{3}$ を展開します。

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ステップ 1.1

二項定理を利用します。

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

ステップ 1.2

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

ステップ 1.3

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

ステップ 1.4

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

ステップ 1.5

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

ステップ 1.6

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

ステップ 1.7

累乗法を積に書き換えます。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

ステップ 1.8

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

ステップ 1.9

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

ステップ 1.10

$x^{2}$ を移動させます。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

ステップ 1.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.12

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.14

$4$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.15

$3$ に $5$ をかけます。

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.17

$2$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.18

$3$ に $5$ をかけます。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.19

$15$ に $5$ をかけます。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

ステップ 1.20

$5$ に $5$ をかけます。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

ステップ 1.21

$25$ に $5$ をかけます。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

ステップ 4

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

ステップ 6

$75$ は $x$ に対して定数なので、 $75$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

ステップ 9.2

簡約します。

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

微分積分 例

微分積分例