微分積分例

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 7 x^{2} - 1$ および $g (x) = 2 x^{3} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x^{3} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $7 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.2.7

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.2.9

$2$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

ステップ 1.2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

ステップ 1.2.11.2

$14$ を $2 x^{3} + x$ の左に移動させます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.5

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$6$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.4

$7$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.6

$- 6 x^{2}$ と $7 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.7

$2$ に $14$ をかけます。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.10

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

ステップ 1.3.6.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

ステップ 1.3.6.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

ステップ 1.3.6.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

ステップ 1.3.6.15

$42 x^{4}$ と $28 x^{4}$ をたし算します。

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

ステップ 1.3.6.16

$x^{2}$ と $14 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$70$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $70 x^{4}$ の微分係数は $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $70$ をかけます。

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

ステップ 2.4.2

$280 x^{3} + 30 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $280 x^{3} + 30 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$280$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $280 x^{3}$ の微分係数は $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $280$ をかけます。

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [30 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$30$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $840 x^{2} + 30$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$840$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $840 x^{2}$ の微分係数は $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 4.2.3

$2$ に $840$ をかけます。

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $30$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

ステップ 4.3.2

$1680 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 1680 x$

微分積分 例

微分積分例