微分積分例

$y = e^{- x} + e^{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $e^{- x} + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.2.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

ステップ 2.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $e^{x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 3.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 4.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 4.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 4.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 4.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

ステップ 4.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

ステップ 4.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

微分積分 例

微分積分例