微分積分例

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

ステップ 1.1.1.5

$x$ に $1 - x$ をかけます。

$\frac{1}{x (1 - x)}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (1 - x)$ です。

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.1.2

$A (1 - x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.5

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.6.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

ステップ 1.1.6.5.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

ステップ 1.1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$A$ を移動させます。

$1 = A - x A + B x$

ステップ 1.1.7.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$1 = A - x A + B x$

ステップ 1.1.7.3

$A$ を移動させます。

$1 = - x A + B x + A$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 1.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

ステップ 1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

ステップ 1.3.3

$0 = - 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $- 1 + B = 0$ として書き換えます。

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

ステップ 1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = 1 A = 1$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = 1, A = 1$

ステップ 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

ステップ 1.5

式から0を削除します。

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

ステップ 4

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

ステップ 9

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$

微分積分 例

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