微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

ステップ 1.3

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

ステップ 1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

ステップ 2

平方を完成させます。

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ステップ 2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot 1 + x (- x)$

ステップ 2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x + x (- x)$

ステップ 2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x - x \cdot x$

ステップ 2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$x - (x \cdot x)$

ステップ 2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x - x^{2}$

ステップ 2.1.5

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x$

ステップ 2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

ステップ 2.5.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.1.4

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

ステップ 2.5.2.1.4.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 + \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.2

$0$ と $\frac{1}{4}$ をたし算します。

$e = \frac{1}{4}$

ステップ 2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ に代入します。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

ステップ 3

$u = x - \frac{1}{2}$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x - \frac{1}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x - \frac{1}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x - \frac{1}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 3.1.4

$- \frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

ステップ 4

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

ステップ 4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

ステップ 6

$- u^{2}$ と ${(\frac{1}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ である

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

ステップ 8.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\arcsin (2 u) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x - \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

ステップ 10.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

ステップ 10.2.3

式を書き換えます。

$\arcsin (2 x - 1) + C$

微分積分 例

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