微分積分例

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

項を並べ替えます。

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\tan (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.2

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ で割ります。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.4

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3

$\csc (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (t)$ を $1 + \tan^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 7

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 8

$\csc (t)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

ステップ 9

商の恒等式を利用して $\tan (t)$ を正弦と余弦で書きます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

積の法則を $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ に当てはめます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

ステップ 10.2

まとめる。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

ステップ 10.3

${\sin (t)}^{2}$ と $\sin (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$\sin (t)$ を $1 {\sin (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

$\sin (t)$ を $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ で因数分解します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

ステップ 10.3.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

ステップ 10.4

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 11

$1$ を掛けます。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 12

$\cos (t)$ を $\cos^{2} (t)$ で因数分解します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

ステップ 13

分数を分解します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

ステップ 14

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ を $\tan (t)$ に変換します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

ステップ 15

$\frac{1}{\cos (t)}$ を $\sec (t)$ に変換します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 16

$\sec (t)$ の微分係数が $\tan (t) \sec (t)$ なので、 $\tan (t) \sec (t)$ の積分は $\sec (t)$ です。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

ステップ 17

簡約します。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

ステップ 18

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$

微分積分 例

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