微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \sec (t)$ とします。次に $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

積の法則を $3 \sec (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$9$ を $9 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$9$ を $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ を ${(3 \tan (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ を $3 \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.2

積の法則を $3 (\sec (t))$ に当てはめます。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.4

$3$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$3$ を $3 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$3$ を $27 \sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.5

$3$ と $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ をまとめます。

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 2.2.6

$\sec (t)$ と $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.8

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.9

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.12

$3$ を $\sec (t)$ の左に移動させます。

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.13

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.1

$3$ を $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.13.2.1

$3$ を $9 \sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

ステップ 2.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

ステップ 2.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.14

$\sec (t)$ と $\sec^{3} (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.1

$\sec (t)$ を $\sec (t) \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

ステップ 2.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.14.2.1

$\sec (t)$ を $3 \sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

ステップ 2.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

ステップ 2.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ を ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

ステップ 4.2

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

ステップ 4.3

正弦と余弦に関して $\tan (t)$ を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

ステップ 4.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (t)}$ で割ります。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

ステップ 4.5

$\cos (t)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

ステップ 4.6

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

ステップ 4.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

ステップ 5

半角公式を利用して $\sin^{2} (t)$ を $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

ステップ 14

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 16.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 16.3

$t$ のすべての発生を $arcsec (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 17.3

$\frac{1}{6}$ と $arcsec (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

ステップ 17.4

$\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ を掛けます。

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ステップ 17.4.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ をかけます。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

ステップ 17.4.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$

微分積分 例

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