微分積分例

$\int \frac{t^{2}}{{(t^{3} - 2)}^{5}} d t$

ステップ 1

$u = t^{3} - 2$ とします。次に $d u = 3 t^{2} d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = t^{3} - 2$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$t^{3} - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t^{3} - 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $t^{3} - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2]$

ステップ 1.1.4

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$3 t^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 t^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{5}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $u^{5}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \int u^{- 5} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 5}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ です。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ を $\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{u^{4}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

ステップ 6.2.2

$4$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{4 u^{4}}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 (4 u^{4})} + C$

ステップ 6.2.4

$4$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{12 u^{4}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $t^{3} - 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{12 {(t^{3} - 2)}^{4}} + C$

微分積分 例

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