微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \sin (t)$ とします。次に $d x = 2 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $2 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$4$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.6

積の法則を $4 \cos^{2} (t)$ に当てはめます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.7

$4$ を $3$ 乗します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.9

$64 \cos^{6} (t)$ を ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.1.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.1

$2 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 \cos (t)$ を $8 \cos^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

ステップ 3.2.1.3

式を書き換えます。

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2$ を $2 \sin (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $2 (\sin (t))$ に当てはめます。

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ を $\tan^{2} (t)$ に変換します。

$\int \tan^{2} (t) d t$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

ステップ 7

$\tan (t)$ の微分係数が $\sec^{2} (t)$ なので、 $\sec^{2} (t)$ の積分は $\tan (t)$ です。

$- t + C + \tan (t) + C$

ステップ 8

簡約します。

$- t + \tan (t) + C$

ステップ 9

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$

微分積分 例

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