微分積分例

$\int \frac{4 x + 7}{{(6 x^{2} + 21 x)}^{4}} d x$

ステップ 1

$u = 6 x^{2} + 21 x$ とします。次に $d u = (12 x + 21) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = (4 x + 7) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 6 x^{2} + 21 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x^{2} + 21 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 21 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $6 x^{2} + 21 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [21 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [21 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $21 x$ の微分係数は $21 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x + 21 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x + 21 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$21$ に $1$ をかけます。

$12 x + 21$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u^{4}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{3 u^{4}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \int u^{- 4} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 4}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ です。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ を $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

ステップ 6.2.2

$3$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3 u^{3}}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 (3 u^{3})} + C$

ステップ 6.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{9 u^{3}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $6 x^{2} + 21 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{9 {(6 x^{2} + 21 x)}^{3}} + C$

微分積分 例

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