微分積分例

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{t}$ を $t^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

ステップ 2

$t^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

ステップ 3

${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4

$(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.4

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 4.6.2

$9$ から $1$ を引きます。

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 6

$27$ は $t$ に対して定数なので、 $27$ を積分の外に移動させます。

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{\frac{8}{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ です。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 8

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

ステップ 9

べき乗則では、 $t^{- \frac{1}{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ です。

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$27$ と $\frac{3}{11}$ をまとめます。

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 10.2.2

$27$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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