微分積分例

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

ステップ 1

$3 x^{2} - 10$ を $x^{2} - 4 x + 4$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

ステップ 1.2

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 12 x + 12$ の符号をすべて変更します。

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$2$ を $12 x - 22$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$2$ を $12 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 4.1.1.1.2

$2$ を $- 22$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 4.1.1.1.3

$2$ を $2 (6 x) + 2 (- 11)$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 4.1.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 4.1.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 4.1.1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 4.1.1.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 4.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x - 2)}^{2}$ です。

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.5

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.5.2

$2 (6 x - 11)$ を $1$ で割ります。

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.6

分配則を当てはめます。

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$6$ に $2$ をかけます。

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.7.2

$2$ に $- 11$ をかけます。

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.8.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

ステップ 4.1.8.2

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.2.1

$x - 2$ を $(B) {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

ステップ 4.1.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.2.2.1

$1$ を掛けます。

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 4.1.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

ステップ 4.1.8.2.2.3

式を書き換えます。

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

ステップ 4.1.8.2.2.4

$B (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

ステップ 4.1.8.3

分配則を当てはめます。

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

ステップ 4.1.8.4

$- 2$ を $B$ の左に移動させます。

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

ステップ 4.1.9

$A$ と $B x$ を並べ替えます。

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$12 = B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 22 = A - 2 B$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式を $B = 12$ として書き換えます。

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $12$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 22 = A - 2 B$ の $B$ のすべての発生を $12$ で置き換えます。

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 2$ に $12$ をかけます。

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

ステップ 4.3.3

$- 22 = A - 24$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

方程式を $A - 24 = - 22$ として書き換えます。

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

ステップ 4.3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $24$ を足します。

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

ステップ 4.3.3.2.2

$- 22$ と $24$ をたし算します。

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

ステップ 4.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 2 B = 12$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = 12$

ステップ 4.4

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

ステップ 4.5

式から0を削除します。

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 7

$u_{1} = x - 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u_{1} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 8.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 8.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

ステップ 10

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

ステップ 11

$u_{2} = x - 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{2} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 11.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 11.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 11.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 13

簡約します。

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例