微分積分例

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

ステップ 1

$t$ を $t + 1$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$t$

$1$

$t$

$0$

ステップ 1.2

被除数 $t$ の最高次項を除数 $t$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $t + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

ステップ 5

$u = t + 1$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = t + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$t + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 5.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$t - \ln (| u |) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $t + 1$ で置き換えます。

$t - \ln (| t + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例