微分積分例

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \ln (u) d u$

ステップ 2

$w = \ln (u)$ と $dv = 1$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$u$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

ステップ 3.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\ln (u) u - \int d u$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\ln (u) u - (u + C)$

ステップ 5

簡約します。

$\ln (u) u - u + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$

微分積分 例