微分積分例

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 3.2

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ と $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ をまとめます。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 π$ および $\frac{π}{2}$ で $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ の値を求めます。

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{π}{2}$ と $\cos (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

ステップ 5.3.3

$π$ に $0$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

ステップ 5.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

ステップ 5.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

ステップ 5.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

ステップ 5.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

ステップ 5.4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

ステップ 5.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- 2 π + \sin (0) - 1$

ステップ 6.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 π + 0 - 1$

ステップ 6.2

$- 2 π$ と $0$ をたし算します。

$- 2 π - 1$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 π - 1$

10進法形式：

$- 7.28318530 \dots$

微分積分 例

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