微分積分例

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

ステップ 2

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 2.2

$u = \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

$u = \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \cos (2 π)$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = \cos (0)$

ステップ 2.5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)$

ステップ 4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- 3 (\frac{u^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ および $\frac{1}{2}$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

ステップ 7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

$- 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{3}}{3}$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 3 \frac{1 - \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3}$

ステップ 8.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{2^{3}}}{3}$

ステップ 8.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{8}}{3}$

ステップ 8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 3 \frac{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{3}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$- 3 \frac{\frac{8 - 1}{8}}{3}$

ステップ 8.5

$8$ から $1$ を引きます。

$- 3 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

ステップ 8.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 (- 1) \frac{\frac{7}{8}}{3}$

ステップ 8.6.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 1 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

ステップ 8.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{7}{8}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{7}{8}$

10進法形式：

$- 0.875$

微分積分 例

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