微分積分例

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = - 3 x$ とします。次に $d u_{1} = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = - 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

ステップ 2.3

$\sec (e^{u_{1}})$ と $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ をまとめます。

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

ステップ 2.4

$\tan (e^{u_{1}})$ と $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ をまとめます。

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$e^{u_{1}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6

$\sec (u_{2})$ の微分係数が $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ なので、 $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ の積分は $\sec (u_{2})$ です。

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

ステップ 8

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 8.1

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{u_{1}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

ステップ 8.2

$u_{1}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$

微分積分 例

微分積分例