微分積分例

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

ステップ 1

$e^{4 x}$ と $\sin (5 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (5 x)$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4} \cdot 5$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot 5$ を積分の外に移動させます。

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\sin (5 x)$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.3

$\frac{1}{4}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.4

$e^{4 x}$ と $\cos (5 x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

ステップ 5

$u = \cos (5 x)$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

ステップ 6

$\frac{1}{4} \cdot - 5$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4} \cdot - 5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\cos (5 x)$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{4}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.5

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ に $\frac{5}{4}$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

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ステップ 7.6.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

ステップ 7.6.3

$\frac{5}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

ステップ 7.7

$\frac{- 5}{4}$ に $\frac{5}{4}$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 7.8

掛け算します。

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ステップ 7.8.1

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 7.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ を解くと、 $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$5$ を $\cos (5 x) e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{41}{16}$ で割ります。

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ を $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\frac{1}{4}$ と $\sin (5 x)$ をまとめます。

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.3.2

$\frac{\sin (5 x)}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.3.3

$\cos (5 x)$ と $\frac{5}{16}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.3.4

$e^{4 x}$ と $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.3.5

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.2.1

書き換えます。

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.4.2.2

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.4.2.3

不要な括弧を削除します。

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

ステップ 9.4.3

$5$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$

微分積分 例

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