微分積分例

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

ステップ 1

平方を完成させます。

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ステップ 1.1

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$5$ を移動させます。

$4 x - x^{2} + 5$

ステップ 1.1.2

$4 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 4 x + 5$

ステップ 1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

ステップ 1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$\frac{2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 2$

ステップ 1.4.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2$

ステップ 1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.2.1.1.2

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 1.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 5 - - 4$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 5 + 4$

ステップ 1.5.2.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$e = 9$

ステップ 1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 2)}^{2} + 9$ に代入します。

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

ステップ 2

$u_{1} = x - 2$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = x - 2$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

ステップ 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = 3 \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

積の法則を $3 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.2

$- 9 \sin^{2} (t)$ と $9$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.3

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.4

$9$ を $- 9 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.5

$9$ を $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.7

$9 \cos^{2} (t)$ を ${(3 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 4.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

ステップ 4.2.3

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

ステップ 4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 5

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 6

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 12

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 14

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 16.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 16.4

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

ステップ 16.5

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ をまとめます。

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

ステップ 17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

ステップ 17.3

$\frac{9}{2}$ と $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ をまとめます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

ステップ 17.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 17.4.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 17.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$

微分積分 例

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